Klára Szegeden született 1982. június 3-án. Zenei tanulmányait óvodás korában kezdte, majd zenei általános iskolában és zeneiskolában tanult. Zongorázott, kórusban énekelt és énekversenyeken vett részt. Zeneszerető szülei nagy hatással voltak rá, már gyermekként megismertették vele a jazz muzsikát.
15 éves korától 5 éven át tanult jazz éneklést Szegeden a HAMMIDO Alapfokú Könnyűzenedében Szabó Adrientől. Ezzel egyidőben kezdett fellépni.

2001-ben a SONY MUSIC és a BRAVO közös tehetségkutató versenyén szólóének kategóriában első, összesítettben harmadik helyezést ért el.

2003 és 2005 között a székesfehérvári Dr. Lauschmann Gyula Zeneművészeti Jazz Szakközépiskola jazz-ének szakán tanult Pocsai Kriszta, Pély Barnabás és Kiss Noémi növendékeként. Ezalatt több zenekarban énekelt, vokálozott és a TV2 Megasztár 1. versenyén az első 16 versenyző között végzett.

2004-ben az a megtiszteltetés érte, hogy felkérték legyen a női hangja Magyarország egyik legnépszerűbb jazz-zenekarának, a Balázs Elemér Groupnak, ahol kilencedik éve énekel Winand Gábor mellett. Európa szerte számos sikeres koncertet adtak együtt, többek között Ausztriában, Szlovákiában, Csehországban, Németországban, Szerbiában, Erdélyben, Olaszországban, Norvégiában, Skóciában, Angliában és Spanyolországban.

2005-ben a Refracting Sounds c. lemezük elnyerte a MAHASZ Fonogram díjat az “év hazai jazz-lemeze” kategóriában, a Magyar Népdalok pedig aranylemez lett.
2007-ben jelent meg Early Music című lemezük, amin barokk zenét ötvöznek jazz-zel, időközben ez is bearanyozódott.
2009 decemberében megjelent legújabb “Memories” c. lemezük, amit jelöltek Fonogram díjra a 2010-es év hazai jazz albuma kategóriában.

Klára számos hazai előadó mögött közreműködött vokalistaként lemezen és koncerten egyaránt (Tisza Bea, Mujahid Zoltán, Rácz Gergő, Dobrády Ákos, Márk, Iván, Gigi, VIVA-Stáb, AFC, Bon-Bon, Polyák Lilla & Homonnay Zsolt, Farkasházi Réka, Irigy Hónaljmirigy, Szolnoki Péter).

Saját zenekarát, a Hajdu Klára Quartetet 2008. tavaszán alapította Balázs József zongoristával, Soós Márton bőgőssel és Cseh Balázs dobossal.

2009-ben énekelt Pacsovszky József : A vágyakozás napjai című filmjében, amely elnyerte a 41. Magyar Játékfilmszemle Arany Mikrofon díját. A filmzenét Bacsó Kristóf szerezte.

Klára 2009 nyarán diplomázott a Liszt Ferenc Zeneművészeti Egyetem jazz-ének szakán Berki Tamás, Lakatos Ágnes és Holczer Irma növendékeként.

Tanított többek közt a Budai Művészképzőben, a Lamantin Improvizációs táborban, hangképzője volt a II. Rákóczi Ferenc Fővárosi Gyakorló Közgazdasági Szakközépiskola kórusának.
2009 szeptemberétől a budapesti Tóth Aladár Zeneiskolában tanít jazz-éneklést.
2010 novemberétől a Talentum Nemzeti Kisebbségi Alapfokú Művészetoktatási Intézmény, Táncművészeti és Zeneművészeti Szakképző Iskola ének tanára.

2010 novemberében megjelent Klára első önálló albuma Ajándék címmel, amely magyar nyelvű tradicionális karácsonyi dalokat tartalmaz jazzes hangszerelésben. Olyan kiváló muzsikusok szerepelnek a korongon, mint Balázs József, Balázs Elemér, Barcza Horváth József, Farkas Norbert, Lamm Dávid és Zana Zoltán.

2011 őszén a Balkan Fanatik felkérte Klárát, közreműködjön “Ölelj magadhoz” című albumán, és ezzel új színt visz a zenekarra jellemző eklektikus zenei világba.

2011 karácsonyán megjelent első közös duettje Szolnoki Péterrel, Az első karácsony című ’95-ös Bon-Bon dal Révész Richárd által újrahangszerelt verziója. Révész Richárd zongorázik, Dennert Árpád szaxofonozik, Barcza Horváth József bőgőzik és Kaszás Péter dobol a felvételen.

2012 elején megújult a Hajdu Klára Quartet. A zenekar két alapító tagja Balázs József és Cseh Balázs helyett Neumann Balázs zongorista és Hoff Marcell dobos csatlakozott a zenekarhoz.