Hajdu Klárát a hazai jazzközönség jól ismeri, hiszen 2004-től majdnem egy évtizeden át volt női énekese az ország egyik legnépszerűbb jazz-zenekarának, a Balázs Elemér Groupnak. Ezzel a formációval két aranylemezt, illetve Fonogram-díjat tudhat magáénak, valamint teltházas koncerteket itthon, Európa, az Egyesült Államok és Kanada több nagyvárosában.
Saját együttesét, a Hajdu Klára Quartetet 10 éve alapította, mely megújult felállásban 2013-ban jelentette meg első albumát "Come with me" címmel, rajta saját szerzeményeik mellett kortárs jazz darabok, örökzöldek és népdalok feldolgozásaival.
A Hajdu Klára Quartet 2015 decemberében mutatta be teltház előtt "Plays Standards Dedicated to Chet Baker" című lemezét.
A szakma "Az év hazai jazz albuma" kategóriában Fonogram-díjra jelölte az albumot 2017 elején. 2019-ben Klára a Gabriel Latchin Trióval elsöprő sikert aratott a legendás londoni 606 Clubban.
2021-ben a Magyar Jazz szerkesztői és a Jazzma.hu olvasói is az év énekesnőjének választották.